Cos'è luogo delle radici?

Ecco informazioni sul luogo delle radici, formattate in Markdown con link:

Il luogo delle radici (anche detto luogo geometrico delle radici o Root Locus) è una rappresentazione grafica nel piano complesso che mostra come le radici dell'equazione caratteristica di un sistema di controllo lineare, tempo-invariante, a retroazione, variano al variare di un parametro, tipicamente il guadagno di un anello. In altre parole, è il luogo geometrico descritto dai poli ad anello chiuso del sistema quando il guadagno varia da 0 a infinito.

È uno strumento fondamentale nell'analisi e nella progettazione di sistemi di controllo, perché permette di visualizzare la stabilità e le prestazioni del sistema al variare del guadagno. Aiuta a determinare il range di guadagno per il quale il sistema rimane stabile e fornisce informazioni sulla risposta transitoria del sistema, come il tempo di assestamento e l'overshoot.

I punti importanti da considerare nel tracciamento del luogo delle radici sono:

• Poli e zeri ad anello aperto: La posizione dei poli e degli zeri ad anello aperto determina la forma del luogo delle radici.
• Asintoti: Le rette a cui il luogo delle radici tende all'infinito. Il numero di asintoti è pari alla differenza tra il numero di poli e il numero di zeri ad anello aperto.
• Punti di diramazione (breakaway e break-in points): Punti in cui il luogo delle radici si divide o si riunisce sull'asse reale. Questi punti sono importanti per determinare la stabilità e le prestazioni del sistema.
• Angoli di partenza e di arrivo: Gli angoli con cui il luogo delle radici lascia i poli e arriva agli zeri complessi coniugati.
• Intersezioni con l'asse immaginario: Determinano il limite di stabilità del sistema.

L'analisi del luogo delle radici permette di:

• Valutare la stabilità di un sistema a retroazione.
• Progettare compensatori per migliorare le prestazioni del sistema.
• Determinare il guadagno appropriato per soddisfare i requisiti di stabilità e prestazioni.

La costruzione del luogo delle radici può essere fatta manualmente seguendo una serie di regole, oppure utilizzando software di calcolo numerico come MATLAB o Simulink.